March 22, 2009

Matematik nereden gelir

Uzun zamandır rafımda toz tutan Lakoff ve Núñez'in Where Mathematics Comes From (Matematik nereden gelir) kitabını yeni okumaya başlamıştım. Geçen Perşembe de (serendipity'nin Türkçesi nedir?) Alexandre Borovik'in Bilgi Üniversitesinde aynı konuda verdiği Shadows of the Truth seminerine gitme şansını buldum, Emre sağolsun. İnsan aklının matematiği nasıl ortaya çıkardığı sorusunu soran bu iki çalışma benzer bir sonuca varıyorlar: en soyut düşüncelerimiz bile metaforlarla somut, fiziksel, görsel, bedensel bilgilere bağlanıyor. Sanırım dört işlem için parmaklarını kullanan, ya da bir üçgenin açıortaylarının aynı noktada kesiştiğini görebilmek için eline kağıt kalem alma ihtiyacı hisseden hiç kimse için bu sürpriz olmamalı. Şaşırtıcı olan matematik eğitiminde bu bağlantıların daha yapıcı şekilde kullanılmaması.

Özellikle çocuklarda henüz soyutla somutun arası çok açılmadığı için bu bağlantılar son derece açık. Örneğin Lakoff ile Núñez temel aritmetiğin dört zihinsel işleve dayandığını iddia ediyorlar: farklı cisimleri bir araya getirmek, parçalarından bir cisim oluşturmak, cetvelle bir uzunluk ölçmek, ve bir yol üzerinde hareket etmek. Borovik'in dört işlem örneklerinde çocukların sayı kavramını henüz saydıkları cisimlerden soyutlayamadıkları için aslında aritmetikten çok daha zor bir problemle uğraştıkları vurgulanıyor. Örneğin elmalarla armutları toplayamayız derken, 10 elmayı 5 insana bölmek kurallara aykırı sayılmıyor okul kitaplarında. Hele hele 10 elmayı ikişer ikişer paylaştırdığımızda beş insana yeteceğini hesaplarken (10/2=5), sol tarafta elmaları bölerken sağ taraftan insanların çıkmasına ne demeli? Benzer örnekleri ve çocukların bunları nasıl kavramlaştırdığı konusundaki teorilerini Borovik'in web sayfasındaki iki kitap çalışmasında okuyabilirsiniz.

Lakoff ve Núñez'in kitabının son bölümü tek bir örneğe ayrılmış. Euler'in meşhur e^πi + 1 = 0 eşitliği. Yazarlar haklı olarak matematiğin en meşhur sayılarını bir araya getiren bu eşitliğin 3^6=729 gibi rastgele bir rakamsal eşitlik olmadığını belirtiyorlar. Euler'in eşitliğindeki her sabitin uzun bir metaforlar zinciriyle desteklenen derin birer anlamı var. Bu zinciri bir noktada kaybeden öğrenci eşitliğin ispatını anlasa bile ne demek olduğunu anlamıyor. Yazarların 70 sayfada sabırla çözümlediği bu metaforlar zincirini burada hakkıyla anlatmam zor. Ama aşağıdaki sorulardan bazıları sizin de kafanızı karıştırıyorsa okumanızı tavsiye ederim:

1. Eğer a^b işlemi a sayısını b defa kendisiyle çarpmak demek ise e sayısını kendisiyle pi defa çarpmak ne demek?

2. i sayısı nereden gelir, neden sanaldır, bir sayıyı i ile çarpmak ya da i'nci üssünü almak ne demek?

3. e sayısı niye 2.718281828459045... değerine sahip?

4. pi sayısı dairelerle ilgili birşey değil miydi? Euler'in eşitliğinin dairelerle ne ilgisi var?

5. İçinde e ve pi gibi iki tane sonsuz kesir olan bir işlem bize nasıl -1 gibi basit bir sonuç verebilir?

6. Matematikte niye e, pi, i, 1 ve 0 sayıları durmadan ortaya çıkıyor ama çoğu sayı (örneğin 192563948.98542129) pek görünmüyor? Bu sayıların sembolize ettiği fikir ve kavramlar nedir?

Full post... Related link

March 03, 2009

Classification of semantic relations between nominals

Roxana Girju, Preslav Nakov, Vivi Nastase, Stan Szpakowicz, Peter Turney and Deniz Yuret. Language Resources and Evaluation, 2009, 43(2), 105-121. (PDF, PDF, HTML).

Abstract: The NLP community has shown a renewed interest in deeper semantic analyses, among them automatic recognition of semantic relations in text. We present the development and evaluation of a semantic analysis task: automatic recognition of relations between pairs of nominals in a sentence. The task was part of SemEval-2007, the fourth edition of the semantic evaluation event previously known as SensEval. Apart from the observations we have made, the long-lasting effect of this task may be a framework for comparing approaches to the task. We introduce the problem of recognizing relations between nominals, and in particular the process of drafting and refining the definitions of the semantic relations. We show how we created the training and test data, list and briefly describe the 15 participating systems, discuss the results, and conclude with the lessons learned in the course of this exercise.

Full post... Related link

March 01, 2009

Incandescence by Greg Egan

Greg Egan's latest novel Incandescence is a great thought experiment exploring how a primitive alien race living inside the tunnels of an asteroid orbiting around a neutron star can find evidence for Newtonian physics and even general relativity using simple experiments inside their closed world. The motion around the star causes a nontrivial field of forces inside the asteroid. There is no weight at the center. Away from the center, the amount and direction of the weight depends on the location relative to the center. Zak, the alien Newton, starts to explain this state of affairs with a simple assumption: "Weight is the difference between preferred and actual motion."

For example, when an object is placed north or south of the center, it is pulled towards the center. Here is what an object left to free fall from the north of the center looks like to an observer inside the asteroid:




However from a different perspective, one can see that the object is actually moving around its own slightly tilted orbit around the star. And if the object is supported by a floor and is prevented from moving toward the center, it will experience a gravitational pull toward the center -- thus an example of the maxim: "Weight is the difference between preferred and actual motion."




When two object are placed toward and away from the sun with respect to the center of the asteroid, they feel a pull away from the center:




Again, from a different perspective, this can be seen as the objects trying to follow their own natural orbits, and weight being the difference between preferred and actual motion:




As a final example, suppose an object at the center is given a radial push. Unlike the objects in the previous example, this object will not accelerate away from the center, but keep cycling in an elliptical course as seen from inside the asteroid:




The standard explanation is in terms of Coriolis force due to the object's motion balancing the tidal acceleration. From the orbital perspective, our radial push places the object in an elliptical orbit crossing the circular orbit of the planet:




Starting with these and many other interesting observations, Zak and his friends uncover the secrets of their universe before ever stepping outside their closed world and ever seeing their sun, their orbit, or fixed stars. The book is a treat for aficionados of gedankenexperiments and qualitative physics.

P.S. I'd like to thank Greg Egan for allowing the use of these animations from his page, which hosts a treasure of information about science and science fiction.

Full post... Related link