Kralın Yeni Usu - Roger Penrose

Penrose'un "Kralın Yeni Usu" isimli kitabının dayandığı "Gödel'in
teoremi, matematik formülizasyon ile bazı önermelerin doğruluğunun ya
da yanlışlığının ispatlanamayacağını söyler ama bir matematikçi
sezgileri ile bu önermelerin doğruluğu hakkında rahatlıkla yorum
yapabilir" varsayımı üzerine yorumlar...

Gödel'in teoremi insan makine ayrımı yapmaz. Söylediği tek şey
aritmetik kurallarını içeren herhangi bir sistemin hem complete (yani
her önermeye true/false assign edebilecek) hem de consistent (yani
contradiction içermeyecek) olmasının mümkün olmadığı. İnsanlar pekala
consistent olmayı bırakıp istedikleri önermeye istedikleri doğruluğu
verebilirler - bu onların makinelerin yapamadığı birşeyi yapabildiği
anlamına gelmez. Bilgisayarları fuzzy, deneyim tabanlı bir şekilde
programlayıp 99% doğru tahminlerde bulunmalarını engelleyecek herhangi bir prensip de yok.

Şu sezgi konusunu bir örnekle açalım: Cantor reel sayıların
oluşturduğu sonsuzluğun, tam sayıların oluşturduğu sonsuzluktan daha
büyük olduğunu gösterdi. Gösteremediği şey ise bu ikisi arasında bir
sonsuzluk olup olmadığı. Şimdi sezgimiz bu konuda ne diyor? Benimki
birşey demiyor. Diyenler olabilir. Fakat daha sonra ispatlandı ki
böyle bir ara-sonsuzluk olduğunu varsaysak da consistent bir sistem
elde ediyoruz, varsaymasak da consistent bir sistem elde ediyoruz.
Peki şimdi sezgimiz ne diyor? Uğraştığımız probleme göre belki bu
modellerden birini ya da diğerini tercih ederiz. Örneğin geometride
paralel aksiyomun doğruluğunu tüm matematikçiler 2000 yıl boyunca
sezdiler. Fakat önce bu aksiyomun alternatiflerinin de consistent
olduğu, sonra da bazı problemleri incelemede (örneğin dünyanın eğimli
yüzeyi üzerine çizilen geometrik şekiller için) diğer aksiyom
seçeneklerinin daha uygun olduğu anlaşıldı. Bu örnek gösteriyor ki
sezilmesi gereken şey bir aksiyomun doğruluğu ya da yanlışlığından
ziyade onun modellediği objeye uygun olup olmadığı.

Bu da beni Penrose ile esas problemime getiriyor: birşey algoritmik mi
değil mi sorusu yanlış olan. Bir çiçek matematiksel midir? Bir
okyanus mantık kurallarına uyar mı? Sonuçta algoritmik sistemler,
matematik, mantık bizim evreni anlamak için kullandığımız diller.
Hiçbirşey kendi içinde matematiksel ya da algoritmik değil - bizim
onlara bakış açımız matematiksel ya da algoritmik olabilir.
Dolayısıyla matematiksel ya da algoritmik gibi sıfatlar incelenen
objeleri değil, incelemede kullanılan yöntemleri tanımlamak için
kullanılmalı. Peki bazı şeyleri (örneğin insan aklını) incelerken
belli dillerin (örneğin algoritmik yaklaşımın) yanlış olduğunu iddia
edemez miyiz? Burada doğru yanlıştan ziyade uygunluk uygunsuzluk
kavramını sorgulamak lazım. Bir objeyi (örneğin dünya üzerindeki
geometrik şekilleri) uygun olmayan bir dille (örneğin Euclidean
geometriyle) incelemeye kalkarsak yanlış sonuçlara varmayız - sadece
analiz olması gerektiğinden daha kompleks ve uzun olur.

Related link