Doğru yanlış dikotomisi

Mantıksal imkansızlıkları üçe ayıralım. Bazı sorulara cevap vermek
imkansız çünkü hem "doğru" hem "yanlış" geçerli görünüyor,
bazıları ise imkansız çünkü ne "doğru" ne "yanlış" uyuyor. Üçüncü
bir grup ise asimetrik, cevap yanlış ise bunu kesin olarak
söyleyebiliyoruz ama doğru ise hiçbir zaman emin olamıyoruz.

5.1 Hem doğru hem yanlış: Bu kategoriye geçen mesajımda bir örnek
vermiştim: Cantor sonsuzlukları bir hiyerarşiye koyup reel
sayıların doğal sayılardan daha büyük bir sonsuzluk olduğunu
gösterdiğinde (örneğin rasyonel sayılar doğal sayılardan daha
büyük değil), doğal olarak bu ikisi arasında bir sonsuzluk olup
olmadığı sorusu ortaya çıktı. Buna kendisi cevap veremediyse de
daha sonra uğraşan matematikçiler, iki cevabın da consistent bir
matematiğe yol açtığını ispatladılar! Hmm, bu durumda gerçek cevap
hangisi sorusunu biraz daha düşünmemiz gerekiyor.

Bu konuda biraz sezgi geliştirebilmek için anlaşılması daha kolay
bir örneğe bakalım: Euclid'in 5. aksiyomu. Diğer dört aksiyom "Her
iki noktadan bir doğru geçer" gibi sezgisel olarak doğruluğunu
hissettiğimiz ifadeler iken, beşinci aksiyom açılar paralellikler
içeren karman çorman birşey. Dolayısıyla yine sezgisel olarak
matematikçiler aslında bunun bir aksiyom değil diğer dördünden
çıkarılabilecek bir teorem olduğunu hissedip ispatlamak için 2000
yıl kadar uğraştılar. Sonunda bu ispatın imkansız olduğu ve bu
aksiyomun zıddının da consistent bir matematiğe yol açtığı
ispatlandı. Buraya kadar Cantor problemine benziyor durum. Ama
insanlar durmayıp bu aksiyomun alternatiflerini ve
alternatiflerden çıkan sonuçları araştırdılar (non-Euclidean
geometriler). Beşinci aksiyoma denk ifadelerden biri üçgenin iç
açılarının 180 derece olduğu. Bunun 180'den büyük ya da 180'den
küçük olduğunu varsayarsanız yine consistent sistemler elde
ediyorsunuz. Üstelik bu mantıksal sistemlerin davranışlarına uyan
modelleri gerçek dünyada gözleyebiliyoruz: bir kürenin üzerine
çizilen üçgenlerin acıları 180'den büyük, bir eğerin üzerine
çizilenler 180'den küçük çıkıyor. Orijinal 5. aksiyom ise düz
uzayda neler olup bittiğini iyi açıklıyor.

Burada mantıksal bir sistem ile, onu model olarak seçtiğimiz
dışarıdaki obje kavramları netleşiyor. Mantıksal sistem tamamiyle
sembolik, deterministik oyun kurallarına göre ispatlar üretebilen
bir sistem. Örneğin Hilbert'ın yazdığı "foundations of geometry"
kitabında pek şekil, çizim yoktur, çünkü geometrinin aslında
esasında bu şekillerle ilgili değil kendi içinde bütünlüğü olan
bir mantık sistemi olduğunu vurgulamaya çalışmıştır. Sonra o
mantıksal sistemin (bir elbise gibi) uyduğu bir dünyasal alan
seçip bu dünyasal alanla ilgili çıkarımlarda bulunuyoruz. Burada
üçgenin acılarının 180 olup olmadığı, düzlem, küre, ve eğer gibi
fiziksel objeler için farklı cevaplar verebiliyor. Fakat
"geometri" mantıksal sistemi için bu sorunun gerçek cevabı nedir,
orası belli değil.

5.2 Ne doğru ne yanlış: İkinci sınıf mantıksal imkansızlıklar ise
ne "doğru" ne "yanlış" cevabının uygun olduğu sorular demiştik.
Gödel cümlelerini daha evvel örnek olarak sunmuştum. Bu konuda
Gregory Chaitin'in güzel kitaplarını öneririm. Gödel'inkinden çok
daha anlaşılır çok daha basit bir sürü cevap verilemez soru
örneğiyle dolu çalışmaları. Ben burada sadece örnek olarak
"halting" problemini vermek istiyorum.

Amacımız bir bilgisayar programının durup durmayacağını tespit
etmek olsun. Diyelim ki bunu belirleyen halt(p) diye bir fonksiyon
yazdığını iddia etti birisi, buna merak ettiğimiz p programını
veriyoruz, o da program durursa "doğru", sonsuza kadar giderse
"yanlış" çıktısı veriyor. Şimdi aşağıdaki programa bir bakalım:

define trouble(p)
if halt(p(p))
loop_forever
else return 42

Soru trouble(trouble) durur mu durmaz mı. Tanıma dikkatli
bakarsanız eğer durduğunu kabul edersek halt(trouble(trouble))
doğru olacağı için program sonsuza kadar gidecek, eğer durmadığını
kabul edersek 42 verecek. Dolayısıyla bu sorunun doğru ya da
yanlış cevabı yok. Bu çelişkiden yola çıkarak halt() diye bir
fonksiyon tanımlanamayacağını ispatlamış Turing.

Emrah mesajında Godel cümlesinin aslında doğru olduğunu ama
ispatlanamadığını belirtmiş. Godel'in iki incompleteness theorem'i
var. Birincisi için Emrah'ın dediği doğru:

"For any consistent formal theory that proves basic arithmetical
truths, an arithmetical statement that is true but not provable in
the theory can be constructed."

Tabi burada "true" ne demek diye sorgulayabiliriz. İkinci theorem
biraz daha düşündürücü:

"For any formal theory T including basic arithmetical truths and
also certain truths about formal provability, T includes a
statement of its own consistency if and only if T is
inconsistent."

Belki aşağıdaki alıntı tartışmamızın temelini iyi bir şekilde
ifade etmiş (wikipedia'dan):

"Undecidability of a statement, in a particular deductive system,
does not in and of itself address the question of whether the
truth value of the statement is well-defined, or whether it can be
known. It says only that the particular deductive system being
considered does not decide the issue. Whether there exist
so-called "absolutely undecidable" statements, whose truth value
can never be known or is ill-specified, is a controversial point
among various philosophical schools."

5.3 Asimetrik problemler: Bu sınıfta tek yönlü emin olabildiğimiz
fakat diğer yönde prensipte hiç bir zaman emin olamadığımız
problemler var. Yukarıdaki halting probleminden örnek vermek
gerekirse, genelde bir programın durup durmayacağını belirleyen
bir fonksiyon yazamadığımız için bazı programlarda bunu anlamanın
tek yolu programı çalıştırmak. Program durduğu anda onun duran bir
program olduğunu ispat etmiş oluyoruz. Fakat durmadığı sürece iki
yönde de emin olamıyoruz.

Benzer bir örnek randomness kavramı için verilebilir: elinizde bir
dizi sayı olsun (random görünen bir 0-1 dizisi diyelim, ya da
stock market datası). Soru bunların "random" olup olmadığı. Yani
bu diziyi üretebilen dizinin kendisinden daha kısa bir formül var
mı yok mu. Chaitin gösteriyor ki bir dizinin random olmadığını bu
tip tek bir formül keşfederek gösterebiliyoruz, ama random
olduğunu hiç bir zaman kesin olarak ispatlayamıyoruz.

Son olarak bilimsel iddiaların da bu sınıfta olduğunu düşünüyorum.
Tek bir negatif örnek iddianın yanlışlığını ispatlamaya yeter. Ama
iddianın doğruluğundan kaç pozitif örnek görürsek görelim emin
olamayız.

Not:
Emrah'ın yorumu
Deniz'in cevabı

Related link